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女士們，先生們，老少爺們兒們！在下張大少。

對在英格蘭切德沃斯的羅馬別墅發現的羅馬路面馬賽克上的回文裝飾圖案進行了幾何分析。分析表明，由四條閉合曲線組成的錯綜復雜的卐字記號回文圖案可以很容易地用一個非常簡單的假設算法構建出來。該算法也解釋了遍布羅馬帝國的羅馬卐字的設計。這些圖案與安哥拉的sona傳統藝術以及南印度泰米爾的kolam傳統藝術有著密切的聯系。所描述的分析和算法可應用于幾何鑲嵌圖案的分類、新圖案的設計以及被時間破壞的部分鑲嵌圖案的重建。

1. 簡介

(資料圖片)

英國最令人印象深刻的羅馬別墅之一是格洛斯特郡的切德沃斯別墅。對別墅的詳細描述，它的發現歷史，以及有用的參考資料已由P. Bethel編譯，并由The National Trust[3]出版。自發現以來，幾幅未被發現的幾何馬賽克已經部分修復。最迷人的馬賽克，發現在餐廳，包含一個復雜的卐字回文圖案，如圖1所示。

圖1：切德沃斯的幾何馬賽克

如圖1所示的卐字記號回文圖案常見于古羅馬和希臘馬賽克圖案(以及中國裝飾[31])，為區域的“二維”裝飾和“一維”飾帶或條紋圖案提供了設計技巧[2]、[5-8]、[13-15]、[19]、[23]、[29]。然而，對羅馬和希臘馬賽克的學術研究明顯忽略了對這些幾何圖案的幾何分析，并傾向于主要關注馬賽克涉及植物或人物的那些方面，以得出關于創造這些設計的社會的傳統和愿望的結論[7]、[15]、[21]。值得注意的例外是菲利普斯關于羅馬馬賽克迷宮拓撲結構的研究工作[24]，以及史密斯[26]和薩頓[27]的幾何分析。在本文中，我們打破這一傳統，對羅馬時期英國最迷人的幾何鑲嵌畫之一進行了幾何分析。分析顯示，在切德沃斯馬賽克上發現的錯綜復雜的卐字記號的回文圖案，由四條閉合的曲線組成，可以用一種非常簡單的假設算法很容易地構建出來。該算法還解釋了遍布羅馬帝國的羅馬和希臘卐字的設計。這些卐字與安哥拉的sona傳統藝術以及南印度泰米爾的kolam傳統藝術有著密切的聯系。之前，Gerdes [10]提供了一份sona圖紙與古埃及、美索不達米亞、瓦努阿圖群島和凱爾特結設計的綜合比較分析。我們現在可以把希臘和羅馬的馬賽克添加到曲線族中。下文描述的分析和算法可應用于現有幾何鑲嵌圖案的分類[19]，[30]新圖案的設計[18]，以及被戰爭或地震部分破壞的鑲嵌圖案的重建。

2 Lewis F. Day書中的羅馬人行道

1903年Lewis F. Day出版了一本關于圖案設計的精彩書籍[6]。他書中描述的技術，以及書中散布的智慧，和100年前一樣適用于今天。在第17章，標題為“不嚴格重復的圖案”，我們發現他的圖250與當前的討論最相關，并復制在圖2中。Lewis F. Day對這一設計有如下看法。

“羅馬的路面模式可以被描述為由一個非常寬的邊界和一個非常小的面板組成。但它同樣可以被看作是一個重復幾何圖案，在一些地方聚集在一起，并在邊緣完成，結果，更多的是偶然而不是預定的目的，在一個有寬邊界的中央面板上，在它內部又包圍了更小的空間。”

不幸的是，Lewis F. Day對這個錯綜復雜的設計沒有更多的話要說，甚至沒有指出這個圖案來自哪里。他簡單地將其描述為羅馬路面圖案。然而，通過比較圖1和圖2中的兩種圖案，在缺乏其他知識的情況下，這兩種圖案似乎是相同的。使用“出現”這個詞是有根據的，因為不幸的是，圖1中真正的馬賽克缺失了一大部分。

圖2：Lewis F. Day書中的羅馬路面設計[6]。

一個自然產生的問題是，Lewis F. Day是否重建了圖1中明顯缺失的部分，如果沒有，他是否從其他地方獲取或推斷了該圖案？要回答這個問題，有助于區分面板的集合，或Lewis F. Day稱之為“空間”，以及在這些空間之間導航的卐字記號回文圖案。圖3展示了圖案中面板的排列。有三種類型的面板：中間的一個大正方形，大正方形的上、下、右和左的四個矩形，以及排列在四組中的二十個小正方形，每組五個，位于整個區域的每個角落。

圖3：Lewis Day圖形中面板的排列。

離切德沃斯不遠的伍德徹斯特還有一座羅馬別墅，因一幅名為《俄耳甫斯與野獸》的馬賽克而聞名，因此簡稱為《俄耳甫斯馬賽克》。這是一幅相當大的鑲嵌畫，大約14平方米。它由一個巨大的圓形面板組成，中間描繪了各種動物。這個中心面板被一組幾何圖案包圍著。有趣的是，有四個幾何圖案，每個角一個，它們由完全相同的面板排列組成，如圖3所示。此外，在兩個截然相反的角落里的卐字記號回文圖案與Lewis Day的書中的回文圖案完全相同(圖2)。另外兩個角包含回文圖案，它們是圖2中圖案的鏡像。換句話說，在兩個角上，卐字記號以順時針方向打開，在另外兩個角上，它們以逆時針方向打開。然而，伍德切斯特鑲嵌畫中嵌板內部的圖案不同于切德沃斯鑲嵌畫中的圖案，而且比切德沃斯鑲嵌畫中的圖案更簡單。此外，由于圖1和圖2中嵌板內部的圖案是相同的，因此僅基于這一知識就可以得出結論，圖2的卐字記號回文圖案是與圖3的嵌板排列一起使用的某種標準圖案，并且Lewis Day的書中的圖案旨在描繪Chedworth馬賽克。最有可能的是，Lewis Day通過觀察伍德徹斯特鑲嵌畫中完整的圖案,“重建”了切德沃斯鑲嵌畫中卐字記號回文圖案的缺失部分。

3.面板上的圖案

切德沃斯鑲嵌圖中的三種嵌板包含四種不同的圖案，如圖4所示。最左邊的圖像位于切德沃斯馬賽克的中心。它是由無處不在的所羅門結[7]組成，由紅色和綠色的兩股互鎖的繩子組成，疊加在藍色的順時針彎曲的卐字記號圖案上。所羅門結可以追溯到遙遠的過去，在世界各地的許多文化中找到。例如，它出現在尼加拉瓜的古代石刻上[32]，安哥拉東部的古代巖石雕刻上[12]，非洲的Hausa刺繡上[1]，以及法國Noirlac的十二世紀教堂的grisaille玻璃制品上[33]。該圖案由左起第二個圖案包圍，為三股扭索花紋。為了便于觀察，圖4中的每條線都涂上了不同的顏色。三股扭索飾也被用于許多傳統藝術。它不僅經常出現在希臘和羅馬的鑲嵌畫中[7][15]，也出現在傳統的波斯和凱爾特的編織物中[1]。Chedworth馬賽克中的20個小正方形面板都包含相同的圖案，如圖4中左起第三個圖案所示。它由紅色、藍色和綠色的三條線組成。這種三股結經常在羅馬馬賽克中用來裝飾正方形區域。例如，在伍德徹斯特發現的俄耳甫斯馬賽克[7]的四個角上，它被用在大的方形中央嵌板上。最后，圖4中最右邊的圖案包含在Chedworth馬賽克的四個矩形面板中。對這種圖案(藍色)的研究表明，它由一條封閉的曲線組成。

圖4：切德沃斯鑲嵌面板中包含的四種圖案。

4.羅馬馬賽克、Sona繪畫和Kolam圖案之間的聯系

來自世界遙遠地方的幾種文化享受著傳統的視覺藝術實踐，這些實踐通過一條共同的線索將它們結合在一起：使用滿足某些幾何特性的回文的循環幾何曲線[22]。這些實踐中最突出的是非洲安哥拉的sona繪畫傳統[12]，以及印度南部泰米爾文化的kolam藝術作品[9]。一幅典型的sona (kolam)畫由一條或多條曲線組成，這些曲線圍繞著一組事先以高度對稱的方式排列的點。在繪制每條閉合曲線的過程中，所使用的筆或其他工具(在沙畫的情況下用手指畫)不得離開紙張，并且不得重復已經繪制的線。此外，這種交叉通常是直角，或幾乎如此。對于某些繪圖，繪制了多條曲線，但最理想的繪圖通常由一條曲線組成。由一條曲線組成的圖形稱為單線性[17]，而由幾條曲線組成的圖形稱為多線性[12]。如圖4所示，當圖紙在其交叉處包含上下信息時，它們在紐結理論中被稱為紐結圖，如果它們是單線的，則被稱為紐結[28]。sona繪圖的另一個常見要求是，當一個繪圖完成時，每個有界區域的內部必須恰好包含一個點。對于給定的一組固定點，滿足這些約束的許多拓撲不同的sona圖是可能的。例如，圖5示出了在同一組五個點上的三個這樣的單線拓撲不同的sona圖。值得注意的是，術語“sona”圖紙是在更一般的幾何意義上使用的，而不是在更嚴格的文化意義上。因此，圖5中的第三幅圖是傳統的sona圖，但前兩幅不是。最左邊的圖畫是Liu [16]的圖1中出現的圖畫的平滑全等改編。然而，它們都是幾何sona圖。與切德沃斯鑲嵌圖案更相關的是，這5個點也承認有兩條曲線的(幾何)sona圖，如圖6所示。

圖5：三張拓撲結構不同的sona圖，5個點排列相同。

圖6：在5個點的相同排列上繪制的雙鏈(紅色和綠色)sona。

圖6中的雙線sona與圖4中的雙線所羅門結之間的相似性是明顯的。所羅門結沒有在sona圖中出現的點，sona圖不具有構成所羅門結的線的上下三維方面。除此之外，兩條曲線具有相同的結構。然而，sona圖和羅馬馬賽克曲線形圖案之間的關系甚至比這更密切。盡管劉易斯·戴(Lewis Day)繪制的切德沃斯馬賽克將20個小正方形面板中的設計描述為只有3股繩結，但檢查圖1中的照片顯示，這些繩實際上像sona圖中那樣圍繞著一組點回文而行。這些白色的點在圖7所示的切德沃斯馬賽克的細節放大圖中清晰可見。此外，一些用于紡織品的非洲設計包含sona圖紙，具有與羅馬馬賽克曲線形圖案和凱爾特結相同的上下特性。Zaslavsky[34]用照片記錄了幾個這樣的例子：圖8.4(來自尼日利亞的約魯巴雕刻葫蘆)，圖10.6和14.7(來自扎伊爾的庫巴刺繡拉非亞布)，圖17.1(來自尼日利亞的約魯巴珠靴)。此外，圖14.7中的示例包含在切德沃斯馬賽克的小正方形面板中發現的三股曲線的兩個副本。

圖7：切德沃斯馬賽克的細節，顯示曲線形圖案中的白點。

包含在小方形面板中的20個回文圖案由3股繩結組成，繞著規則的3 × 3網格中的13個點回文而行。此模式的sona版本(沒有上下方面)顯示在圖8的左側圖中，使用三種顏色來區分三條線。

在13點承認的極其大量的可能的sona繪畫中，人們可能會想知道羅馬人是如何得出這種特殊的和最受歡迎的圖案的。答案可能是一個簡單的算法，如圖8的右圖所示。首先構建一個包圍所有點的正方形，使正方形和點之間的距離是兩個水平相鄰點之間距離的一半。現在想象這個正方形要么是臺球桌，要么是由鏡子組成的。要構建藍色曲線，讓一個臺球(或鏡子中的光束)從正方形上的一個點開始以45度角滾動，該點位于最左上角的點上方。然后沿著球的路徑走，直到它回到起點，記住(像光一樣)每當球碰到正方形的邊緣，它就會以45度角反彈(或反射)，從而轉過90度角。為了描繪出剩余的曲線，從包含在點的頂行中的點的正上方的所有點開始重復這個過程。Gerdes描述了生成這類sona圖的程序，出于顯而易見的原因，他稱之為鏡像曲線[12]。在本書中，Gerdes追溯了這些算法的起源，追溯到非洲和世界其他許多地方的實踐，即通過在矩形的邊上以45度角折疊繩股來編織矩形墊子。一旦獲得了最終的圖案(圖8，右)，去除反射正方形，可以平滑三個曲線的拐角，并且可以應用上下圖案以獲得圖7中的圖案。在他1999年的著作《來自非洲的幾何學》中，Gerdes給出了關于鏡像曲線的更一般概念的更多細節[11]。

圖8：在一個3x 3的正方形中，圍繞著規則間隔的點的三股回文圖案。

包含在切德沃斯鑲嵌圖的四個矩形面板中的圖4中最右邊的圖案(在圖7中也可見)可以用相同的算法構建，如圖9所示。然而，在這種情況下，只需要一條曲線，因為當一條曲線開始時，它繼續從邊界反射，直到它在返回到起始點之前完成整個繪圖(因此只有一種顏色)。發生這種情況是因為外部矩形的尺寸為3x8，這兩個數字都是質數。

圖9：在一個3x8的矩形中規則間隔的點周圍的單線回文圖案。

5.解讀卐字記號回文圖案

現在讓我們轉而分析切德沃斯鑲嵌畫中最復雜、最迷人的圖案：纏繞在嵌板之間整個空間的直線型卐字記號回文圖案。該圖案可以被視為使用8乘8的正方形虛擬棋盤作為底層向導來構建的。在棋盤的每一行和每一列都有4個卐字記號圖案，總共有32個。這32個卐字記號由回文的直線連接起來。出現的第一個問題是：有多少閉合曲線組成這個圖案？對不同顏色的曲線的簡單描繪揭示了該圖案由4條不同的閉合曲線組成，如圖10所示。它們被染成藍色、紅色、綠色和黑色。黑色曲線停留在圖的中心附近，緊緊圍繞著大的中央方形面板。藍色曲線連接圖形的四個外角和中心。紅色和綠色曲線連接外部正方形邊的中心。為了更清楚地了解每條曲線如何回文穿過面板之間的空間，圖11中單獨顯示了每條曲線。

圖10：組成卐字記號回文圖案的四條曲線。

圖11：組成卐字記號回文圖案的四條單線曲線。

卐字記號的回文圖案提出了其他問題，關于在這個和其他類似的遍布羅馬帝國的路面馬賽克中的一般羅馬設計原則。例如，這個設計中的所有卐字符號都是以順時針旋轉的方式打開的。顯而易見，它們都可以以逆時針方式打開，因為人們只需翻轉圖案以獲得其鏡像。事實上，正如前面所指出的，這種逆時針形式的圖案在伍德徹斯特的俄耳甫斯馬賽克中非常明顯。更有趣的問題是，是否有可能出現一種設計，其中一些卐字記號以順時針方向打開，而另一些以逆時針方向打開。這個問題的答案是肯定的。事實上，對于24個卐字記號中的每一個，我們都可以先驗地選擇其所需的方向，然后構建一個實現所有這些選擇的回文圖案。為了回答這個問題和其他問題，我們在下面列出了一個簡單的算法來構建切德沃斯回文圖案，我們假設切德沃斯和其他地方的羅馬設計師使用了這個算法。該算法的開始與我們已經用來構建圖8中的圖案的算法相同。像以前一樣，我們構建圍繞整個圖案的正方形，這些正方形充當反射鏡或充當臺球桌的邊緣(參見圖12，注意有兩個正方形，較大的一個用于兩條外部曲線，較小的一個用于內部曲線)。25個小正方形面板將扮演曲線回文環繞的點的角色。現在的區別是，中間的大正方形面板，以及圍繞它的四個矩形面板，也充當臺球的反射鏡或反彈邊緣。為了開始我們的構造，我們畫了四條純反射曲線，如圖12所示。以轉角訪問曲線為例。和以前一樣，我們從頂行最左邊的正方形面板上方的一個點開始沿東南方向以45度角追蹤曲線。每當臺球碰到外面的正方形或其中一個白色面板時，它就會以45度角反射，直到它回到起始位置。類似的過程用于生成另外兩條曲線。最后，內部的黑色曲線是從一個矩形白色面板的內側中點開始生成的。

我們算法的第一部分之前已經在Gerdes的工作[10]中被建議用于sona圖的構造。這也是Bain [1]和Meehan [20]在書中闡述的構建凱爾特結的基本設計原則，Schlatter [25]在更一般的數學背景下對其進行了分析。

圖12：構建Chedworth的卐字記號回文圖案的算法。

通過比較圖12和10，讀者將會注意到，圖12中兩條回文曲線之間的每個交叉點對應于圖10中包含卐字圖案的位置。為了完成設計，將圖12中的圖案轉換成圖10中的圖案所需的剩余步驟很簡單。請注意，圖12中使用的所有線條的對角線方向都是45度。為了解決這個問題，我們對圖形進行了變形，使得所有使用的線段都是垂直或水平的，同時保持與包含對角線的圖形相同的拓撲結構。

圖13：拉直曲線，扭曲卐字。

最后，要將每個交叉轉換成卐字符號，我們只需將它朝所需的方向扭轉。直觀上，該過程可以被視為如下。想象這些曲線是由躺在地上的繩子組成的。垂直和水平線段之間的交叉將平面分成四個區域。想象將一只手的四個手指放在地面上，這樣一個手指在每個區域都接觸到地面。現在向某個方向扭轉或旋轉手，比如順時針方向，同時用手指拖動繩子，并將繩子限制在垂直和水平的線上。作為一個例子，考慮在安提阿邪惡之眼的幾何鑲嵌地毯上發現的卐字記號回文圖案[15]，[29]。該過程在圖13和14中示出，為了清楚起見，每條曲線分開，在底部，兩條曲線一起示出。請注意，交點在旋轉過程中保持固定，旋轉操作可以無限期地進行，以獲得從卐字記號中出現的越來越深的螺旋。請注意，每次卐字被扭曲時，可能需要重新縮放，以便所有相鄰平行線對之間的間距保持不變。

圖14：扭轉交叉形成卐字圖案。

描述的算法回答了有關這種設計的其他幾個問題。因為我們可以自由地以順時針或逆時針方向扭曲每個卐字，所以我們可以自由地選擇任何這樣的組合。作為一個例子，考慮在羅馬曲線形圖案設計的背景下，圖6的sona圖中的五個點的圖案。圖13(右下)顯示了該圖案的卐字字符曲線形版本，所有的卐字字符以順時針方向打開。另一方面，圖15顯示了帶有一個逆時針卍字符(左)和兩個逆時針卍字符(右)的示例。據我們所知，在任何羅馬馬賽克考古遺址上都沒有發現這些圖案。因此，我們的算法也可以用來獲得新的設計。

圖15：左邊有一個逆時針方向的卍字，右邊有兩個。

另一個問題是，要完成一個完整的卐字符號回文圖案，需要多少個閉合曲線形曲線。首先請注意，圖12中的四條曲線可以被視為sona或kolam圖，其中一些區域不包含黑色的小方形面板。這些區域毗鄰中央白色方形面板和四個白色矩形面板。另外，正如剛才指出的，任何sona繪圖都可以通過扭曲交叉點轉換為卍字符曲線形圖案。此外，對于任何一組點，都有許多可能由一條曲線組成的sona圖。因此，對于切德沃斯面板的排列，如果我們不要求最終的圖紙包含所有32個卍字符，那么就存在大量可能的卍字符曲線形圖案，只使用一條曲線。如果不使用反射板，并且整個區域是一個正方形或矩形，其邊長有公因數，例如圖12和圖8中的情況，那么我們需要不止一條曲線，而如果邊長沒有公因數(即相對素數)，例如圖9中的3 × 8面板，那么一條曲線就足夠了。如果使用反射板，就像切德沃斯的設計一樣，那么情況就更復雜了。如果對面板的放置沒有限制，那么無論包含圓點的矩形的尺寸如何，總是可以用單一曲線構造sona曲線圖案。這源于Chavey[4]的工作，他證明了幾個關于繪制對稱曲線圖案的定理，這些定理依賴于所使用的反射板的對稱布置。

6.結論

乍看之下，在英格蘭切德沃斯的羅馬別墅餐廳地板馬賽克上發現的卐字記號回文圖案，似乎是一個相當錯綜復雜的設計，為其羅馬設計師的智慧和創造力贏得了贊譽。這里提供的這種圖案的幾何分析揭示了一種簡單的算法，通過這種算法，羅馬人可以很容易地構建出這種和其他這種看似復雜的圖案。這種算法允許構建新的替代設計。此外，該算法可用于分類羅馬回文圖案，并在部分損壞的馬賽克中重建它們。

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青山不改，綠水長流，在下告退。

標簽： 揭秘羅馬馬賽克回文圖案的繪制 切德沃斯